Regressar aos Apontamentos

Betão Armado - Fórmulas

Table of Contents

Vigas à Flexão, Transverso, Torção, Fendilhação, Deformação, Fluência e Retração

1 Flexão

1.1 Momento Flector Reduzido

\begin{equation} { \mu }=\frac { { M }_{ rd } }{ b\times { d }^{ 2 }\times { f }_{ cd } } \end{equation}

1.2 Percentagem Mecânica de Armadura

\begin{equation} \varpi =\frac { { A }_{ S } }{ b\times d } \times \frac { { f }_{ yd } }{ { f }_{ cd } } \end{equation}

1.3 Área de Armadura

\begin{equation} { A }_{ s }=\varpi \times b\times d\times \frac { { f }_{ cd } }{ { f }_{ yd } } \end{equation}

Sendo \({f}_{yd}\) o valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço; \({f}_{cd}\) o valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão.

1.3.1 Posição da Linha Neutra

\begin{equation} \alpha=\frac{x}{d} \end{equation}

1.4 Área Mínima de Armadura

\begin{equation} { A }_{ s,min }=0.26\times { b }_{ t }\times d\times \frac { { f }_{ ctm } }{ { f }_{ yk } } \end{equation}

Sendo \({b}_{t}\) a largura média da zona tracionada em flexão.

1.5 Área Máxima de Armadura

\begin{equation} { A }_{ s,max }=0.04\times { A }_{ C } \end{equation}

1.6 Armadura Longitudinal Superior nos apoios de Extremidade

\begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ - }= max\left\{ { A }_{ s,min };\quad 0.15\times { A }_{ s,vao }^{ + } \right\} \end{equation}

2 Transverso

2.1 Verificação de Esmagamento das Bielas

\begin{equation} { V }_{ rd,max }=\frac { z\times { b }_{ w }\times { D }_{ 1 }\times f_{ cd } }{ \cos { \theta } +\tan { \theta } } \end{equation}

2.2 Coeficiente de Redução da Resistência do Betão Fendilhado por esforço transverso

EC2, página 98

\begin{equation} { D }_{ 1 }=\upsilon =0.6\times \left\lfloor 1-\frac { { f }_{ ck } }{ 250 } \right\rfloor \end{equation}

2.3 Verificação de Compressão na Alma

Nota: Forma alternativa a equação 8
EC2 página 98

\begin{equation} {\sigma }_{ c }^{ max }={ \alpha }_{ cw }\times \upsilon \times { f }_{ cd} \end{equation}

\({ \alpha }_{ cw }\) toma o valor de 1

2.4 Armadura Mínima

Área miníma de armadura transversal, pelo EC2:

\begin{equation} { \rho }_{ w,min }=\frac { 0.08\times \sqrt { { f }_{ ck } } }{ { f }_{ yk } } \end{equation}

sendo a área de armadura miníma:

\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ min }={ \rho }_{ w,min }\times { b }_{ w }\times \sin { \alpha } \end{equation}

2.5 Esforço Transverso Resistente para Armadura mínima

\begin{equation} { V }_{ rd,s }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ min }\times Z\times { f }_{ ywd }\times \cot { \theta } \end{equation}

2.6 Tensão Máxima na Biela de Compressão

\begin{equation} { \sigma }_{ c,max }=\frac { { V }_{ sd } }{ z\times { b }_{ w } } \times (\cot { \theta } +\tan { \theta ) } \end{equation}

Também é necessário considerar que a máxima tensão permitida no betão tem que ser inferior a 60 persento de \(f_cd\)

\begin{equation} { \sigma }_{ c,max }\quad \le \quad 0.6\times { f }_{ cd } \end{equation}

2.7 Máxima Compressão Apoio

Partindo das equações 11 e 12

\begin{equation} { \sigma }_{ c,apoio }=\frac { R }{ { A }_{ apoio } } \le 0.6{ \times f }_{ cd } \end{equation}

em que \(R\) é a resultante da combinação de esforços actuantes no apoio

2.8 Armadura Transversal nos Apoios}

\begin{equation} { V }_{ rd,s }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }\times Z\times { f }_{ ywd }\times \cot { \theta } \end{equation}

Alterando a equação anterior, metendo em evidência \({ A }_{ sw }\)

\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }=\frac { { V }_{ sd }\times (z\times \cot { \theta } ) }{ z\times \cot { \theta } \times { f }_{ ywd } } \end{equation}

sendo \({f}_{ywd}\) o valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras de esforço transverso. EC2, pag100

2.9 Espaçamento de Armadura Esforço Transverso

2.9.1 Espaçamento Longitudinal Máximo entre estribos

\begin{equation} {S}_{t,max}= 0.75d \times(1+\cot{\alpha})>0.3m \end{equation}

2.9.2 Espaçamento Transversal entre ramos

Existem duas condições para o espaçamento transversal entre ramos. A primeira:

\begin{equation} { S }_{ t,max }\quad \le \quad 0.75\times d \end{equation}

e a segunda condição:

\begin{equation} { S }_{ t,max }\quad \le \quad 600\quad mm \end{equation}

2.10 Armadura de suspensão

\begin{equation} { (\frac { A }{ S } ) }_{ suspensao }=\frac { F }{ { f }_{ yd } } \end{equation}

Sendo \(F\) o somatório das cargas permanentes e das cargas temporárias

Não esquecendo que:

\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ transverso }+{ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ suspensao }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ Total } \end{equation}

2.11 Armadura Ligação Banzo Alma

pag173, EC2

\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sf } }{ { S }_{ s } } ) }=\frac { { V }_{ ed } }{ 2\times z\times \cot { { \theta }_{ f }\times { f }_{ yd } } } \end{equation}

se ${α}f $ (banzo) for igual a \(\alpha\) da alma, então:

\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sf } }{ { S }_{ f } } ) }=\frac { 1 }{ 2 } \times { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) } \end{equation}

2.12 Translação do Diagrama

Comprimento para Dispensa de Armadura Longitudinal de tração} Referir à página 173 do EC2 para mais informações

\begin{equation} { X }_{ 1 }^{ ' }={ X }_{ 1 }-al-{ l }_{ bd } \end{equation}

2.13 Translação do diagrama- Dispensa da Armadura Longitudinal de Tração

Referir à página 173 do EC2 para mais informações

\begin{equation} al=\frac { z\times (\cot { \theta } -\cot { \alpha } ) }{ 2 } \end{equation}

2.14 Comprimento de amarração de cálculo

\begin{equation} l_{ b,req }={ l }_{ bd }={ \alpha }_{ 1 }\times { \alpha }_{ 2 }\times { \alpha }_{ 3 }\times { \alpha }_{ 4 }\times { \alpha }_{ 5 }\times { l }_{ b,req }\ge { l }_{ b,min } \end{equation}

2.15 Comprimento de amarração de referência

\begin{equation} l_{ bd,req }=\frac { \theta }{ 4 } \times \frac { { \sigma }_{ sd } }{ { f }_{ bd } } \end{equation}

2.16 Tensão de rotura da aderência

\begin{equation} { f }_{ bd }=2.25\times { \eta }_{ 1 }\times { \eta }_{ 2 }\times { f }_{ ctd } \end{equation}

em que \(\eta_{ 1 }\) e \(\eta_{2}\) são o coeficiente que relaciona com as condições de aderência e com a posição do varão durante a betonagem.

Ver 8.4.2,EC2, pag 151, para obter os valores que \(\eta\) pode ter.

2.16.1 Valor de cálculo da resistência do betão à tração

EC2, 3.1.6(2), página 42

\begin{equation} { f }_{ cd }=\frac { { \alpha }_{ cc }\times { f }_{ ck } }{ { \gamma }_{ c } } \Longrightarrow \frac { { f }_{ ck } }{ { \gamma }_{ c } } \end{equation}

Simplificando, o valor de \(f_{cd}\) pode ser considerado o valor de \(f_{ck}\) a dividir pelo coeficiente parcial de segurança relativo ao betão

2.16.2 Valor de cálculo da tensão na secção do varão a partir da qual é medido o comprimento de amarração

EC2, 8.4.3.(2), pag 152

\begin{equation} { \sigma }_{ sd }=\frac { { A }_{ s,req } }{ { A }_{ s,prov } } \times { f }_{ yd } \end{equation}

2.16.3 Comprimento mínimo de amarração

EC2, 8.4.4, pag 152

\begin{equation} { l }_{ b,min }\le (0,3\times { l }_{ b,req } \\ ;\quad 10\phi \\ ;\quad 100 mm ) \end{equation}
  1. Amarração de armaduras inferiores em apoios extremos}

    EC2, 9.2.1.4, pag 173

  2. Valor mínimo da área de armadura}
    \begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ + }\ge { \beta }_{ 2 }\times { A }_{ s,prov } \end{equation}

    Tomando $ β2 $ o valor de 0,25

  3. Força de tracção a amarração

    EC2, 9.2.1.4.(2), pag173

    \begin{equation} { F }_{ ed }=\left\lceil { V }_{ ed } \right\rceil \times \frac { al }{ z } \times { N }_{ ed } \end{equation}
  4. Área efectiva de amarração
    \begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ effect }=\frac { { F }_{ ed } }{ { f }_{ yd } } \end{equation}

2.16.4 Comprimento de Sobreposição

EC2, 8.7.3.(1), pag 158

\begin{equation} { l }_{ 0 }={ \alpha }_{ 6 }\times { l }_{ b,req }\ge { l }_{ 0,mim } \end{equation}
  1. Valor do coeficiente \(\alpha_{6}\)

    O valor do coeficiente \(\alpha\) é obtido do Quadro 8.3, da página 158, do EC2.

  2. Comprimento de sobreposição mínimo

    EC2, 8.7.3.(1), pag 158

    \begin{equation} { l }_{ 0,mim }\ge ( 0.3\times { \alpha }_{ 6 }\times { l }_{ b,req };\quad 15\phi ;\quad 200\quad mm ) \end{equation}

3 Torção

3.1 Tensão em secções de paredes finas - Não Fendilhada

Fórmula geral - \(\tau_{medio}\)

\begin{equation} \tau_{medio}=\frac{T}{2\times e\times A_{media}} \end{equation}

em que:

\(\tau_{medio}=\) torção média que atua sobre a espessura \(e\)

\(T=\) Torção interna resultante que atua na secção transversal. Seu valor é determinado pelo método das secções e pelas equações de equilíbrio

\(e=\) espessura da parede da secção oca eficaz, fictícia, contida na secção real, aonde \(\tau_{medio}\) é determinado

\(A_{m}\) = Área média

3.2 Tensões em secções fendilhadas segundo EC2

3.2.1 Tensão tangencial numa parede de uma secção}

EC2 6.3.2 pág 107

\begin{equation} \tau_{t,i}\times t_{ef,i}=\frac{T_{Ed}}{2\times A_{k}} \end{equation}

em que:

\(A_{k}=\) área limitada pelas linhas médias da parede, incluindo áreas ocas interiores \(\tau_{t,i}=\) tensão tangencial de torção na parede \(i\)

\(t_{ef,i}=\) espessura eficaz da parede \(T_{Ed}=\) valor de cálculo do momento torsor

3.2.2 Esforço tangencial numa parede de uma secção \(V_{Ed,i}\)

EC2 6.3.2 pág 107

\begin{equation} V_{Ed,i}=\tau_{t,i}\times t_{ef,i}\times z_{i} \end{equation}

em que:

\(z_{i}=\) comprimento da parede \(i\) , definido pela distância entre os pontos de interceção de paredes adjacentes

  1. Valor de Cálculo do Momento Torsor Resistente \(T_{Rd,max}\)}

    Verificação de Máximo Momento Torsor que pode ser aplicado sem que exista esmagamento do betão.

    EC2 6.3.2(4) pág 108

    \begin{equation} T_{Rd,max}=2\times\alpha_{cw}\times\nu\times f_{cd}\times A_{media}\times t_{ef,i}\times\sin\theta\times\cos\theta \end{equation}

    \(\alpha_{cw}=\) coeficiente que tem em conta o estado de tensão do banzo comprimido - EC2, pág 100 - normalmente tomando o valor de 1 nos cálculos.

3.2.3 Coeficiente de Redução da Resistência do betão fendilhado por esforço transverso \(\nu\)

EC2 6.2.2 (5) pág 98

\begin{equation} \nu=0,6\times\left[1-\frac{f_{ck}}{250}\right] \end{equation}

3.2.4 Verificação da resistência máxima de um elemento sujeito aos esforços de torção e transverso

EC2 6.3.2.(3), pág 108

\begin{equation} \frac{T_{Ed}}{T_{Rd,max}}+\frac{V_{Ed}}{V_{Rd,max}}\leq1,0 \end{equation}

3.2.5 Área da secção transversal de armadura longitudinal de torção

EC2 6.3.2.(3), pág 108

\begin{equation} A_{S,longitudinal}=\frac{T_{Ed}\times\coth\theta\times u_{ef}}{2\times A_{ef}\times f_{yd}} \end{equation}

em que:

$uef=$perímetro da Área Efetiva \(A_{ef}\)

\(\theta=\) ângulo das escoras comprimidas (inclinação das bielas)

3.2.6 Armadura Transversal de Torção \(\frac{A_{st}}{S}\)

\begin{equation} \frac{A_{st}}{S}=\frac{T_{sd}}{2\times A_{ef}\times\coth\theta\times f_{yd}} \end{equation} \begin{equation} \frac{A_{sw}}{S}=\frac{V_{Ed,i}}{z\times f_{ywd}\times\cot\theta} \end{equation}

3.2.7 Máximo Espaçamento Longitudinal das Cintas de Torção\(S_{e,max}\)

\begin{equation} S_{e,max}\leq\begin{cases} \frac{u}{2}\\ b=30cm\\ 0.75\times d\times(1+cotg\alpha) \end{cases} \end{equation}

4 Fendilhação

4.1 Controlo da Fendilhação sem cálculo Diret

EC2 7.3.3.(1) (2) pág138,pág139

«No caso de lajes de betão armado ou pré-esforçado de edifícios, solicitados à flexão sem tracção axial significativa, não são necessários medidas específicas para controlar a fendilhação quando a espessura total da laje não é superior a 200mm…»

As regras dispostas ao longo deste capitulo, encontram-se sumarizadas no Quadro 7.2N (pág 139) que pode ser utilizado para substituir o cálculo.

4.2 Pré-Dimensionamento

Processo rápido de fazer o pré-dimensionamento:

\[ W=S_{R}\times\varepsilon_{sm} \]

\[ \varepsilon_{sm}=\frac{\sigma_{S}}{E_{s}} \]

\[ M=F_{s}\times z=A_{s}\times\sigma_{S}\times z \]

\[ z=0,9\times h \]

4.3 Momento de Fendilhação - Momento Critico \(M_{cr}\)

\begin{equation} M_{cr}=f_{ct}\times\frac{I}{z} \end{equation}

4.4 Cálculo da Largura das Fendas \(w_{k}\)

EC2 7.3.4 pág140

\begin{equation} w_{k}=S_{t,max}\times(\varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}) \end{equation}

em que:

\(S_{t,max}\) = distância máxima entre fendas

  • \(\varepsilon_{sm}\) = extensão média da armadura para a combinação das acções considerada, incluindo o efeito das deformações impostas e considerando a contribuição do betão traccionado. Considera-se apenas a extensão de tracção que ocorre para além do estado de extensão nula do betão no mesmo nível.
  • \(\varepsilon_{cm}\) = extensão média no betão entre fendas

4.4.1 Cálculo de \(\varepsilon_{sm}\) e de \(\varepsilon_{cm}\) (extensão média relativa entre o aço e o betão):

EC2 7.3.4 pág141

\begin{equation} \varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}=\frac{\sigma_{s}-K_{t}\times\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}\times(1+\alpha_{e}\times\rho_{p,eff})}{E_{s}}\geq0,6\times\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} \end{equation}

em que:

\(\sigma_{s}\) = tensão na armadura de tracção, admitindo a secção fendilhada

\(\alpha_{e}\) = relação \(E_{s}/E_{cm}\)

\(K_{t}\) = 0,6 (acção de curta duração) ou 0,4 (acção de longa duração)

  1. Cálculo de \(\rho_{p,eff}\)

    Como alternativa a 5.21.1 e a 5.2.1.2, pode-se recorrer a tabelas e obter o resultado por interpolação.

    \begin{equation} \rho_{p,eff}=\frac{(A_{s}+\xi_{1}^{2}\times A'_{p})}{A_{e,eff}} \end{equation}

    em que:

    • \(A'_{p}\) = Área da Secção das Armaduras Pré ou Pós Tensionadas
    • \(A'_{p}\) existentes em \(A_{e,eff}\)
    • \(A_{e,eff}\) = Área de secção efetiva de betão tracionado que envolve as armaduras para betão armado ou de pré-esforço com uma altura \(h_{c,eff}\)

    • \(h_{e,eff}\) = é o menor dos valores:

      \begin{equation} h_{e,eff}=_{min}\begin{cases} 2,5\times(h-d)\\ \frac{(h-x)}{3}\\ \frac{h}{2} \end{cases} \end{equation}
  2. Coeficiente Corrigido da Resistência de aderência \(\xi_{1}\)

    EC2 7.3.2.(3) pág 137

    \begin{equation} \xi_{1}=\sqrt{\xi\times\frac{\phi_{s}}{\phi_{p}}} \end{equation}

    em que:

    • \(\xi\) = relação de resistência de aderência das armaduras de pré-esforço e para betão armado, sendo necessário recorrer ao Quadro 6.2 (pág128) do EC2 6.8.2.
    • \(\phi_{p}\) = diâmetro equivalente das armaduras de pré-esforço (ver pag127 e 128 do EC2 6.8.2.(2))
    • \(\phi_{s}\) = maior diâmetro dos varões das armaduras de betão armado

4.4.2 Cálculo da Armadura mínima para controlo da Fendilhação \(A_{S,min}\)

EC2 7.3.2.(2) pág 136

\begin{equation} A_{s,min}=K_{c}\times K\times f_{ct,eff}\times\frac{A_{ct}}{\sigma_{s}} \end{equation}

em que:

\(A_{s,min}\) = área de armadura mínima para betão armado na zona tracionada

\(A_{ct}\) = área de betão tracionado

\(\sigma_{s}\) = valor absoluto da tensão máxima admissível nas armaduras imediatamente depois da formação da fenda

\(f_{ct,eff}\) = valor médio da resistência do betão à tracção. Em geral, considerar \(f_{ct,eff}=f_{ctm}\)

\(K\) = coeficiente que considera o efeito das tensões não uniformes auto-equilibradas alma:

\(k=1,0\) para almas com \(h\leq300mm\) ou para banzos com larguras inferiores a \(300mm\)

\(k=0,65\) para almas com \(h\geq800mm\) ou para banzos com larguras superiores a \(800mm\)

Interpolação para valores intermédios

  1. Coeficiente que relaciona a distribuição de tensões na secção \(K_{c}\)

    EC2 7.3.2.(2) pág 136

    Para Tracção simples:

    \[ K_{c}=1,0 \]

    Para flexão ou flexão composta com esforços normais, em secção rectangular:

    \begin{equation} K_{c}=0.4\times\left[1-\frac{\sigma_{c}}{K_{1}\times(\frac{h}{h^{*}})\times f_{ct,eff}}\right]\leq1,0 \end{equation}

    Para banzos de secções em caixão e de secções em T:

    \begin{equation} K_{c}=0,9\times\frac{F_{cr}}{A_{ct}\times f_{ct,eff}}\geq0,5 \end{equation}

    em que:

    \(h^{*}=h\) para \(h<1,0m\)

    \(h^{*}=1,0m\) para \(h\geq1,0m\)

    \(K_{1}\) = efeitos dos esforços normais na distribuição da tensão:

    \(K_{1}=1,5\) se \(N_{Ed}\) for um esforço de compressão

    \(K_{1}=\frac{2\times k^{*}}{3\times h}\) se \(N_{Ed}\) for um esforço de tracção

    Tensão média do betão \(\sigma_{c}\):

    \begin{equation} \sigma_{c}=\frac{N_{Ed}}{b\times h} \end{equation}

4.4.3 Verificação do E.Limite da Largura da Fenda

\begin{equation} W_{k}\leq W_{max} \end{equation}

5 Deformação

5.1 Pré-Dimensionamento da Flecha a Longo Prazo

\begin{equation} \alpha_{\infty}\simeq(3....5)\times\alpha_{c} \end{equation}

5.2 Controlo de Deformação limitando a relação vão/altura

EC2 7.4.2.(2) pág 144

\begin{equation} \rho\leq\rho_{0}\Rightarrow\frac{l}{d}=K\times\left[11+1,5\times\sqrt{f_{ck}}\times\frac{\rho_{0}}{\rho}+3,2\times\sqrt{f_{ck}}\times(\frac{\rho_{0}}{\rho}-1)^{\frac{3}{2}}\right] \end{equation} \begin{equation} \rho>\rho_{0}\Rightarrow\frac{l}{d}=K\times\left[11+1,5\times\sqrt{f_{ck}}\times\frac{\rho_{0}}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\times\sqrt{f_{ck}}\times\sqrt{\frac{\rho'}{\rho_{0}}}\right] \end{equation}

em que:

  • \(\frac{l}{d}\) é o valor limite da relação vão/altura
  • \(k\) é o coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais

Obtido do Quadro 7.4N, EC2 7.4.2 (pág 145)

\(\rho_{0}\) é a taxa de armadura de referência \[ \rho_{0}=10^{-3} \times \sqrt {f_{ck}} \]

\(\rho\) é a taxa de armadura de tracção necessária a meio vão (ou no apoio no caso de consolas) para equilibrar o momento devido às acções de cálculo \[ \rho=\frac{A_{S,calculo}}{b\times d} \]

\(\rho'\) é a taxa de armadura necessária a meio vão (ou no apoio no caso de consolas) para equilibrar o momento devido às acções de cálculo

  • \(\rho'=0\) , para vigas simplesmente armadas

5.3 Verificação das flechas por meio de Cálculo Direto

EC2 7.4.3 (pág 146)

\begin{equation} a_{\infty}\leq a_{max} \end{equation}

em que,

  • \(a_{\infty}\) é a flecha a longo prazo
  • \(a_{max}\) é a flecha máxima

5.4 Cálculo da Flecha Instântanea para (\(t=0\)) e (\(\rho=0\)):

\begin{equation} \alpha_{0}=\xi\times\alpha_{II}+(1-\xi)\times\alpha_{I} \end{equation}

em que,

  • \(\alpha\) é o parâmetro de deformação considerado que poderá ser,

por exemplo, uma extensão, uma curvatura ou uma rotação. \(\alpha\) é uma flecha.

  • \(\alpha_{I}\) e \(\alpha_{II}\) são valores do parâmetro calculado,

respetivamente, para os estados não fendilhado e totalmente fendilhado

  • Flecha Instantânea na Secção de Fendilhação
\begin{equation} \alpha_{I,0}=\frac{\alpha_{c}}{\frac{I_{X}}{I_{c}}} \end{equation}
  • Flecha Instantânea na Secção Determinante Fendilhada
\begin{equation} \alpha_{II,0}=\frac{\alpha_{c}}{\frac{I_{II}}{I_{c}}} \end{equation}
  • \(I_{I};I_{II}\) determinados com $ρ$=0
  • \(\alpha_{c}\) (flecha eslástica) é obtido de tabela
  • \(\xi\) é o coeficiente de distribuição (que tem em conta a distribuição

do betão traccionado entre fendas), obtido por: \[ \xi=1-\beta\times(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}})^{2} \]

  • \(\xi=0\) para secções não fendilhadas
  • Necessário definir o Coeficiente de Distribuição -> \(\xi_{medio}\)
  • \(\beta\) é o coeficiente que tem em conta a influência na extensão

média da duração do carregamento ou da repetição do carregamento: \[ \beta=\begin{cases} 1 & long.duracao\\ 0.5 & curta.duracao \end{cases} \]

  • \(\sigma_{sr}\) é a Tensão no Aço antes de Fendilhar
  • \(\sigma_{s}\) é a tensão no aço após fendilhação

5.4.1 Cálculo da Flecha a Longo Prazo (\(t=\infty\)); (\(\varphi_{t=\infty}=2,4\))

Referir a 6.2.1 para descrição completa das variáveis da equação

\begin{equation} \alpha_{\infty}=\xi\times\alpha_{II,\infty}+(1-\xi)\times\alpha_{I,\infty} \end{equation} \begin{equation} \alpha_{I,\infty}=\frac{\alpha_{c}\times(1+\varphi)}{\frac{I_{I}}{I_{c}}} \end{equation} \begin{equation} \alpha_{II,\infty}=\frac{\alpha_{c}\times(1+\varphi)}{\frac{I_{II}}{I_{c}}} \end{equation}

aonde;

  • \(I_{I}\) e \(I_{II}\) são determinados com \(\varphi=2,4\)
  • \(\beta=0,5\) (acções de longo prazo)

6 Fluência e Retração

6.1 Fluência

 A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no
tempo, sob a acção de um estado de tensão constante (resultado,
essencialmente, da variação de volume da pasta de cimento que envolve
os agregados'

6.1.1 Deformação por fluência para \(t=0\)

\begin{equation} \varepsilon_{c,t=0}=\frac{\sigma_{c,t=0}}{E_{c,t=0}} \end{equation}

em que

  • \(\varepsilon_{c,t=0}\) é a extensão inicial

6.1.2 Deformação por fluência para \(t=\infty\)

\begin{equation} \varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})}=\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\times\varepsilon_{c(t_{0})} \end{equation}

em que,

  • \(\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\) representa o coeficiente de fluência
  • \(\varepsilon_{cc}\) é o incremento de extensão
  • \([t_{\infty},t_{0}]\) é o intervalo de tempo
  • \(\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\cong2...4\) . No caso de avaliações detalhadas, pode usar-se para referência \(\varphi\cong2,5\)
  1. Determinação da Deformação a Longo Prazo
    \begin{equation} \varepsilon_{c(t_{\infty,}t_{0})}=\varepsilon_{c(t_{0})}+\varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})} \end{equation} \begin{equation} \varepsilon_{c(t_{\infty,}t_{0})}=\frac{\sigma_{c}}{E_{c}^{*}} \end{equation} \begin{equation} E_{c}^{*}=\frac{E_{c}}{1+\varphi} \end{equation}

6.2 Retracção

A retralção no betão pode ser tratada como o efeito de uma alteração na temperatura:

\begin{equation} \varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})}\cong-2,0\times10^{-4}....-4,0\times10^{-4} \end{equation}

\[ \varepsilon_{\triangle T}=\alpha\times\triangle T \]

6.2.1 Flexão Composta e Desviada

  1. Flexão Desviada

    > A flexão desviada corresponde à atuação simultânea de um esforço axial > e de flexão segundo os dois eixos principais. \cite{Camara2014}

    1. Esforço Normal Reduzido

      \[ \nu=\frac{N_{Rd}}{b\times h\times f_{cd}} \]

    2. Momentos Flectores Reduzidos

      \[ \mu_{y}=\frac{M_{Rd,y}}{b\times h^{2}\times f_{cd}} \]

      \[ \mu_{z}=\frac{M_{Rd,z}}{b^{2}\times h\times f_{cd}} \]

    3. Percentagem Mecânica de Armadura \(\omega_{total}\)

      \[ \omega_{tot}=\frac{A_{s,tot}}{b\times h}\times\frac{f_{syd}}{f_{cd}} \]

    4. Tabelas

      Depois de determinado os esforços actuantes, determinar através de recurso a tabelas, a quantidade de armadura necessária.

    5. Verificação da condição de segurança
      \begin{equation} \left(\frac{M_{sd,y}}{M_{Rd,y}}\right)^{\alpha}+\left(\frac{M_{sd,z}}{M_{Rd,z}}\right)^{\alpha}\leq1,0 \end{equation}
      Este website foi criado a partir do template do website de Joshua Eckroth Esta página faz parte do arquivo: Apontamentos

Author: Louie Moura

Created: 2016-12-15 Thu 12:31

Validate