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Formulário segundo o Eurocódigo para vigas em betão armado

Luis Moura / 2018-01-06

Fórmulas, segundo o Euro-Código(Comité Europeu de Normalização 2004), a serem utilizadas na análise e dimensionamento de vigas em betão armado.

Estas fórmulas faziam parte dos meus apontamentos de betão armado. Algumas fórmulas estão referênciadas à página do Eurocódigo respectiva. É possível que existam erros no formulário, e o seu uso, não dispensa a consulta do Eurocódigo.

Fórmulas, segundo o Euro-Código, para a serem utilizadas na análise e dimensionamento de vigas em betão armado.

Flexão

Momento Flector Reduzido

\[\begin{equation} { \mu }=\frac { { M }_{ rd } }{ b\times { d }^{ 2 }\times { f }_{ cd } } \end{equation}\]

Percentagem Mecânica de Armadura

\[\begin{equation} \varpi =\frac { { A }_{ S } }{ b\times d } \times \frac { { f }_{ yd } }{ { f }_{ cd } } \end{equation}\]

Área de Armadura

\[\begin{equation} { A }_{ s }=\varpi \times b\times d\times \frac { { f }_{ cd } }{ { f }_{ yd } } \end{equation}\]

Sendo \({f}_{yd}\) o valor de cálculo da tensão de cedência à tração do aço; \({f}_{cd}\) o valor de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão.

Posição da Linha Neutra

\[\begin{equation} \alpha=\frac{x}{d} \end{equation}\]

Área Mínima de Armadura

\[\begin{equation} { A }_{ s,min }=0.26\times { b }_{ t }\times d\times \frac { { f }_{ ctm } }{ { f }_{ yk } } \end{equation}\]

Sendo \({b}_{t}\) a largura da zona tracionada em flexão.

Área Máxima de Armadura

\[\begin{equation} { A }_{ s,max }=0.04\times { A }_{ C } \end{equation}\]

Armadura Longitudinal Superior nos apoios de Extremidade

\[\begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ - }= max\left\{ { A }_{ s,min };\quad 0.15\times { A }_{ s,vao }^{ + } \right\} \end{equation}\]

Transverso

Verificação de Esmagamento das Bielas

\[\begin{equation} { V }_{ rd,max }=\frac { z\times { b }_{ w }\times { D }_{ 1 }\times f_{ cd } }{ \cos { \theta } +\tan { \theta } } \end{equation}\]

Coeficiente de Redução da Resistência do Betão Fendilhado por esforço transverso

EC2, página 98

\[\begin{equation} { D }_{ 1 }=\upsilon =0.6\times \left\lfloor 1-\frac { { f }_{ ck } }{ 250 } \right\rfloor \end{equation}\]

Verificação de Compressão na Alma

Nota: Forma alternativa a equação 8 EC2 página 98

\[\begin{equation} {\sigma }_{ c }^{ max }={ \alpha }_{ cw }\times \upsilon \times { f }_{ cd} \end{equation}\]

\({ \alpha }_{ cw }\) toma o valor de 1

Armadura Mínima

Área miníma de armadura transversal, pelo EC2:

\[\begin{equation} { \rho }_{ w,min }=\frac { 0.08\times \sqrt { { f }_{ ck } } }{ { f }_{ yk } } \end{equation}\]

sendo a área de armadura miníma:

\[\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ min }={ \rho }_{ w,min }\times { b }_{ w }\times \sin { \alpha } \end{equation}\]

Esforço Transverso Resistente para Armadura mínima

\[\begin{equation} { V }_{ rd,s }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ min }\times Z\times { f }_{ ywd }\times \cot { \theta } \end{equation}\]

Tensão Máxima na Biela de Compressão

\[\begin{equation} { \sigma }_{ c,max }=\frac { { V }_{ sd } }{ z\times { b }_{ w } } \times (\cot { \theta } +\tan { \theta ) } \end{equation}\]

Também é necessário considerar que a máxima tensão permitida no betão tem que ser inferior a 60 persento de \(f_cd\)

\[\begin{equation} { \sigma }_{ c,max }\quad \le \quad 0.6\times { f }_{ cd } \end{equation}\]

Máxima Compressão Apoio

Partindo das equações 11 e 12

\[\begin{equation} { \sigma }_{ c,apoio }=\frac { R }{ { A }_{ apoio } } \le 0.6{ \times f }_{ cd } \end{equation}\]

em que \(R\) é a resultante da combinação de esforços actuantes no apoio

Armadura Transversal nos Apoios}

\[\begin{equation} { V }_{ rd,s }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }\times Z\times { f }_{ ywd }\times \cot { \theta } \end{equation}\]

Alterando a equação anterior, metendo em evidência \({ A }_{ sw }\)

\[\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }=\frac { { V }_{ sd }\times (z\times \cot { \theta } ) }{ z\times \cot { \theta } \times { f }_{ ywd } } \end{equation}\]

sendo \({f}_{ywd}\) o valor de cálculo da tensão de cedência das armaduras de esforço transverso. EC2, pag100

Espaçamento de Armadura Esforço Transverso

Espaçamento Longitudinal Máximo entre estribos

\[\begin{equation} {S}_{t,max}= 0.75d \times(1+\cot{\alpha})>0.3m \end{equation}\]

Espaçamento Transversal entre ramos

Existem duas condições para o espaçamento transversal entre ramos. A primeira:

\[\begin{equation} { S }_{ t,max }\quad \le \quad 0.75\times d \end{equation}\]

e a segunda condição:

\[\begin{equation} { S }_{ t,max }\quad \le \quad 600\quad mm \end{equation}\]

Armadura de suspensão

\[\begin{equation} { (\frac { A }{ S } ) }_{ suspensao }=\frac { F }{ { f }_{ yd } } \end{equation}\]

Sendo \(F\) o somatório das cargas permanentes e das cargas temporárias

Não esquecendo que:

\[\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ transverso }+{ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ suspensao }={ (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) }_{ Total } \end{equation}\]

Armadura Ligação Banzo Alma

pag173, EC2

\[\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sf } }{ { S }_{ s } } ) }=\frac { { V }_{ ed } }{ 2\times z\times \cot { { \theta }_{ f }\times { f }_{ yd } } } \end{equation}\]

se ${α}f $ (banzo) for igual a \(\alpha\) da alma, então:

\[\begin{equation} { (\frac { { A }_{ sf } }{ { S }_{ f } } ) }=\frac { 1 }{ 2 } \times { (\frac { { A }_{ sw } }{ S } ) } \end{equation}\]

Translação do Diagrama

Comprimento para Dispensa de Armadura Longitudinal de tração} Referir à página 173 do EC2 para mais informações

\[\begin{equation} { X }_{ 1 }^{ ' }={ X }_{ 1 }-al-{ l }_{ bd } \end{equation}\]

Translação do diagrama- Dispensa da Armadura Longitudinal de Tração

Referir à página 173 do EC2 para mais informações

\[\begin{equation} al=\frac { z\times (\cot { \theta } -\cot { \alpha } ) }{ 2 } \end{equation}\]

Comprimento de amarração de cálculo

\[\begin{equation} l_{ b,req }={ l }_{ bd }={ \alpha }_{ 1 }\times { \alpha }_{ 2 }\times { \alpha }_{ 3 }\times { \alpha }_{ 4 }\times { \alpha }_{ 5 }\times { l }_{ b,req }\ge { l }_{ b,min } \end{equation}\]

Comprimento de amarração de referência

\[\begin{equation} l_{ bd,req }=\frac { \theta }{ 4 } \times \frac { { \sigma }_{ sd } }{ { f }_{ bd } } \end{equation}\]

Tensão de rotura da aderência

\[\begin{equation} { f }_{ bd }=2.25\times { \eta }_{ 1 }\times { \eta }_{ 2 }\times { f }_{ ctd } \end{equation}\]

em que \(\eta_{ 1 }\) e \(\eta_{2}\) são o coeficiente que relaciona com as condições de aderência e com a posição do varão durante a betonagem.

Ver 8.4.2,EC2, pag 151, para obter os valores que \(\eta\) pode ter.

Valor de cálculo da resistência do betão à tração

EC2, 3.1.6(2), página 42

\[\begin{equation} { f }_{ cd }=\frac { { \alpha }_{ cc }\times { f }_{ ck } }{ { \gamma }_{ c } } \Longrightarrow \frac { { f }_{ ck } }{ { \gamma }_{ c } } \end{equation}\]

Simplificando, o valor de \(f_{cd}\) pode ser considerado o valor de \(f_{ck}\) a dividir pelo coeficiente parcial de segurança relativo ao betão

Valor de cálculo da tensão na secção do varão a partir da qual é medido o comprimento de amarração

EC2, 8.4.3.(2), pag 152

\[\begin{equation} { \sigma }_{ sd }=\frac { { A }_{ s,req } }{ { A }_{ s,prov } } \times { f }_{ yd } \end{equation}\]

Comprimento mínimo de amarração

EC2, 8.4.4, pag 152

\[\begin{equation} { l }_{ b,min }\le (0,3\times { l }_{ b,req } \\ ;\quad 10\phi \\ ;\quad 100 mm ) \end{equation}\]

  1. Amarração de armaduras inferiores em apoios extremos}

    EC2, 9.2.1.4, pag 173

  2. Valor mínimo da área de armadura}

    \[\begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ + }\ge { \beta }_{ 2 }\times { A }_{ s,prov } \end{equation}\]

    Tomando $ β2 $ o valor de 0,25

  3. Força de tracção a amarração

    EC2, 9.2.1.4.(2), pag173

    \[\begin{equation} { F }_{ ed }=\left\lceil { V }_{ ed } \right\rceil \times \frac { al }{ z } \times { N }_{ ed } \end{equation}\]

  4. Área efectiva de amarração

    \[\begin{equation} { A }_{ s,apoio }^{ effect }=\frac { { F }_{ ed } }{ { f }_{ yd } } \end{equation}\]

Comprimento de Sobreposição

EC2, 8.7.3.(1), pag 158

\[\begin{equation} { l }_{ 0 }={ \alpha }_{ 6 }\times { l }_{ b,req }\ge { l }_{ 0,mim } \end{equation}\]

  1. Valor do coeficiente \(\alpha_{6}\)

    O valor do coeficiente \(\alpha\) é obtido do Quadro 8.3, da página 158, do EC2.

  2. Comprimento de sobreposição mínimo

    EC2, 8.7.3.(1), pag 158

    \[\begin{equation} { l }_{ 0,mim }\ge ( 0.3\times { \alpha }_{ 6 }\times { l }_{ b,req };\quad 15\phi ;\quad 200\quad mm ) \end{equation}\]

Torção

Tensão em secções de paredes finas - Não Fendilhada

Fórmula geral - \(\tau_{medio}\)

\[\begin{equation} \tau_{medio}=\frac{T}{2\times e\times A_{media}} \end{equation}\]

em que:

\(\tau_{medio}=\) torção média que atua sobre a espessura \(e\)

\(T=\) Torção interna resultante que atua na secção transversal. Seu valor é determinado pelo método das secções e pelas equações de equilíbrio

\(e=\) espessura da parede da secção oca eficaz, fictícia, contida na secção real, aonde \(\tau_{medio}\) é determinado

\(A_{m}\) = Área média

Tensões em secções fendilhadas segundo EC2

Tensão tangencial numa parede de uma secção}

EC2 6.3.2 pág 107

\[\begin{equation} \tau_{t,i}\times t_{ef,i}=\frac{T_{Ed}}{2\times A_{k}} \end{equation}\]

em que:

\(A_{k}=\) área limitada pelas linhas médias da parede, incluindo áreas ocas interiores \(\tau_{t,i}=\) tensão tangencial de torção na parede \(i\)

\(t_{ef,i}=\) espessura eficaz da parede \(T_{Ed}=\) valor de cálculo do momento torsor

Esforço tangencial numa parede de uma secção \(V_{Ed,i}\)

EC2 6.3.2 pág 107

\[\begin{equation} V_{Ed,i}=\tau_{t,i}\times t_{ef,i}\times z_{i} \end{equation}\]

em que:

\(z_{i}=\) comprimento da parede \(i\) , definido pela distância entre os pontos de interceção de paredes adjacentes

  1. Valor de Cálculo do Momento Torsor Resistente \(T_{Rd,max}\)}

    Verificação de Máximo Momento Torsor que pode ser aplicado sem que exista esmagamento do betão.

    EC2 6.3.2(4) pág 108

    \[\begin{equation} T_{Rd,max}=2\times\alpha_{cw}\times\nu\times f_{cd}\times A_{media}\times t_{ef,i}\times\sin\theta\times\cos\theta \end{equation}\]

    \(\alpha_{cw}=\) coeficiente que tem em conta o estado de tensão do banzo comprimido - EC2, pág 100 - normalmente tomando o valor de 1 nos cálculos.

Coeficiente de Redução da Resistência do betão fendilhado por esforço transverso \(\nu\)

EC2 6.2.2 (5) pág 98

\[\begin{equation} \nu=0,6\times\left[1-\frac{f_{ck}}{250}\right] \end{equation}\]

Verificação da resistência máxima de um elemento sujeito aos esforços de torção e transverso

EC2 6.3.2.(3), pág 108

\[\begin{equation} \frac{T_{Ed}}{T_{Rd,max}}+\frac{V_{Ed}}{V_{Rd,max}}\leq1,0 \end{equation}\]

Área da secção transversal de armadura longitudinal de torção

EC2 6.3.2.(3), pág 108

\[\begin{equation} A_{S,longitudinal}=\frac{T_{Ed}\times\coth\theta\times u_{ef}}{2\times A_{ef}\times f_{yd}} \end{equation}\]

em que:

\(u<sub>ef</sub>=\)perímetro da Área Efetiva \(A_{ef}\)

\(\theta=\) ângulo das escoras comprimidas (inclinação das bielas)

Armadura Transversal de Torção \(\frac{A_{st}}{S}\)

\[\begin{equation} \frac{A_{st}}{S}=\frac{T_{sd}}{2\times A_{ef}\times\coth\theta\times f_{yd}} \end{equation}\] \[\begin{equation} \frac{A_{sw}}{S}=\frac{V_{Ed,i}}{z\times f_{ywd}\times\cot\theta} \end{equation}\]

Máximo Espaçamento Longitudinal das Cintas de Torção\(S_{e,max}\)

\[\begin{equation} S_{e,max}\leq\begin{cases} \frac{u}{2}\\ b=30cm\\ 0.75\times d\times(1+cotg\alpha) \end{cases} \end{equation}\]

Fendilhação

Controlo da Fendilhação sem cálculo Diret

EC2 7.3.3.(1) (2) pág138,pág139

«No caso de lajes de betão armado ou pré-esforçado de edifícios, > solicitados à flexão sem tracção axial significativa, não são > necessários medidas específicas para controlar a fendilhação quando a > espessura total da laje não é superior a 200mm…»

As regras dispostas ao longo deste capitulo, encontram-se sumarizadas no Quadro 7.2N (pág 139) que pode ser utilizado para substituir o cálculo.

Pré-Dimensionamento

Processo rápido de fazer o pré-dimensionamento:

\[ W=S_{R}\times\varepsilon_{sm} \]

\[ \varepsilon_{sm}=\frac{\sigma_{S}}{E_{s}} \]

\[ M=F_{s}\times z=A_{s}\times\sigma_{S}\times z \]

\[ z=0,9\times h \]

Momento de Fendilhação - Momento Critico \(M_{cr}\)

\[\begin{equation} M_{cr}=f_{ct}\times\frac{I}{z} \end{equation}\]

Cálculo da Largura das Fendas \(w_{k}\)

EC2 7.3.4 pág140

\[\begin{equation} w_{k}=S_{t,max}\times(\varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}) \end{equation}\]

em que:

\(S_{t,max}\) = distância máxima entre fendas

\(&epsilon;<sub>sm</sub>\)= extensão média da armadura para a combinação das acções considerada, incluindo o efeito das deformações impostas e considerando a contribuição do betão traccionado. Considera-se apenas a extensão de tracção que ocorre para além do estado de extensão nula do betão no mesmo nível.

\(&epsilon;<sub>cm</sub>\)= extensão média no betão entre fendas

Cálculo de \(\varepsilon_{sm}\) e de \(\varepsilon_{cm}\) (extensão média relativa entre o aço e o betão):

EC2 7.3.4 pág141

\[\begin{equation} \varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}=\frac{\sigma_{s}-K_{t}\times\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}\times(1+\alpha_{e}\times\rho_{p,eff})}{E_{s}}\geq0,6\times\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} \end{equation}\]

em que:

\(\sigma_{s}\) = tensão na armadura de tracção, admitindo a secção fendilhada

\(\alpha_{e}\) = relação \(E_{s}/E_{cm}\)

\(K_{t}\) = 0,6 (acção de curta duração) ou 0,4 (acção de longa duração)

  1. Cálculo de \(\rho_{p,eff}\)

    NOTA: Como alternativa a 5.21.1 e a 5.2.1.2, pode-se recorrer a tabelas e obter o resultado por interpolação

    \[\begin{equation} \rho_{p,eff}=\frac{(A_{s}+\xi_{1}^{2}\times A'_{p})}{A_{e,eff}} \end{equation}\]

    em que:

    \(A'_{p}\) = Área da Secção das Armaduras Pré ou Pós Tensionadas \(A'_{p}\) existentes em \(A_{e,eff}\)

    \(A_{e,eff}\) = Área de secção efetiva de betão tracionado que envolve as armaduras para betão armado ou de pré-esforço com uma altura \(h_{c,eff}\)

    \(h<sub>e,eff</sub>\)= é o menor dos valores:

    \[\begin{equation} h_{e,eff}=_{min}\begin{cases} 2,5\times(h-d)\\ \frac{(h-x)}{3}\\ \frac{h}{2} \end{cases} \end{equation}\]

  2. Coeficiente Corrigido da Resistência de aderência \(\xi_{1}\)

    EC2 7.3.2.(3) pág 137

    \[\begin{equation} \xi_{1}=\sqrt{\xi\times\frac{\phi_{s}}{\phi_{p}}} \end{equation}\]

    em que:

    \(\xi\) = relação de resistência de aderência das armaduras de pré-esforço e para betão armado, sendo necessário recorrer ao Quadro 6.2 (pág128) do EC2 6.8.2.

    \(&phi;<sub>s</sub>\)= maior diâmetro dos varões das armaduras de betão armado

    \(&phi;<sub>p</sub>\)= diâmetro equivalente das armaduras de pré-esforço (ver pag127 e 128 do EC2 6.8.2.(2))

Cálculo da Armadura mínima para controlo da Fendilhação \(A_{S,min}\)

EC2 7.3.2.(2) pág 136

\[\begin{equation} A_{s,min}=K_{c}\times K\times f_{ct,eff}\times\frac{A_{ct}}{\sigma_{s}} \end{equation}\]

em que:

\(A_{s,min}\) = área de armadura mínima para betão armado na zona tracionada

\(A_{ct}\) = área de betão tracionado

\(\sigma_{s}\) = valor absoluto da tensão máxima admissível nas armaduras imediatamente depois da formação da fenda

\(f_{ct,eff}\) = valor médio da resistência do betão à tracção. Em geral, considerar \(f_{ct,eff}=f_{ctm}\)

\(K\) = coeficiente que considera o efeito das tensões não uniformes auto-equilibradas alma:

\(k=1,0\) para almas com \(h\leq300mm\) ou para banzos com larguras inferiores a \(300mm\)

\(k=0,65\) para almas com \(h\geq800mm\) ou para banzos com larguras superiores a \(800mm\)

Interpolação para valores intermédios

  1. Coeficiente que relaciona a distribuição de tensões na secção \(K_{c}\)

    EC2 7.3.2.(2) pág 136

    Para Tracção simples:

    \[ K_{c}=1,0 \]

    Para flexão ou flexão composta com esforços normais, em secção rectangular:

    \[\begin{equation} K_{c}=0.4\times\left[1-\frac{\sigma_{c}}{K_{1}\times(\frac{h}{h^{*}})\times f_{ct,eff}}\right]\leq1,0 \end{equation}\]

    Para banzos de secções em caixão e de secções em T:

    \[\begin{equation} K_{c}=0,9\times\frac{F_{cr}}{A_{ct}\times f_{ct,eff}}\geq0,5 \end{equation}\]

    em que:

    \(h^{*}=h\) para \(h<1,0m\)

    \(h^{*}=1,0m\) para \(h\geq1,0m\)

    \(K_{1}\) = efeitos dos esforços normais na distribuição da tensão:

    \(K_{1}=1,5\) se \(N_{Ed}\) for um esforço de compressão

    \(K_{1}=\frac{2\times k^{*}}{3\times h}\) se \(N_{Ed}\) for um esforço de tracção

    Tensão média do betão \(\sigma_{c}\):

    \[\begin{equation} \sigma_{c}=\frac{N_{Ed}}{b\times h} \end{equation}\]

Verificação do E.Limite da Largura da Fenda

\[\begin{equation} W_{k}\leq W_{max} \end{equation}\]

Deformação

Pré-Dimensionamento da Flecha a Longo Prazo

\[\begin{equation} \alpha_{\infty}\simeq(3....5)\times\alpha_{c} \end{equation}\]

Controlo de Deformação limitando a relação vão/altura

EC2 7.4.2.(2) pág 144

\[\begin{equation} \rho\leq\rho_{0}\Rightarrow\frac{l}{d}=K\times\left[11+1,5\times\sqrt{f_{ck}}\times\frac{\rho_{0}}{\rho}+3,2\times\sqrt{f_{ck}}\times(\frac{\rho_{0}}{\rho}-1)^{\frac{3}{2}}\right] \end{equation}\] \[\begin{equation} \rho>\rho_{0}\Rightarrow\frac{l}{d}=K\times\left[11+1,5\times\sqrt{f_{ck}}\times\frac{\rho_{0}}{\rho-\rho'}+\frac{1}{12}\times\sqrt{f_{ck}}\times\sqrt{\frac{\rho'}{\rho_{0}}}\right] \end{equation}\]

em que:

  • \(\frac{l}{d}\) é o valor limite da relação vão/altura
  • \(k\) é o coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais

Obtido do Quadro 7.4N, EC2 7.4.2 (pág 145)

\(\rho_{0}\) é a taxa de armadura de referência \[ \rho_{0}=10^{-3} \times \sqrt {f_{ck}} \]

\(\rho\) é a taxa de armadura de tracção necessária a meio vão (ou no apoio no caso de consolas) para equilibrar o momento devido às acções de cálculo \[ \rho=\frac{A_{S,calculo}}{b\times d} \]

\(\rho'\) é a taxa de armadura necessária a meio vão (ou no apoio no caso de consolas) para equilibrar o momento devido às acções de cálculo

  • \(\rho'=0\) , para vigas simplesmente armadas

Verificação das flechas por meio de Cálculo Direto

EC2 7.4.3 (pág 146)

\[\begin{equation} a_{\infty}\leq a_{max} \end{equation}\]

em que,

  • \(a_{\infty}\) é a flecha a longo prazo
  • \(a_{max}\) é a flecha máxima

Cálculo da Flecha Instântanea para (\(t=0\)) e (\(\rho=0\)):

\[\begin{equation} \alpha_{0}=\xi\times\alpha_{II}+(1-\xi)\times\alpha_{I} \end{equation}\]

em que,

  • \(\alpha\) é o parâmetro de deformação considerado que poderá ser,

por exemplo, uma extensão, uma curvatura ou uma rotação. \(\alpha\) é uma flecha.

  • \(\alpha_{I}\) e \(\alpha_{II}\) são valores do parâmetro calculado,

respetivamente, para os estados não fendilhado e totalmente fendilhado

  • Flecha Instantânea na Secção de Fendilhação
\[\begin{equation} \alpha_{I,0}=\frac{\alpha_{c}}{\frac{I_{X}}{I_{c}}} \end{equation}\]
  • Flecha Instantânea na Secção Determinante Fendilhada
\[\begin{equation} \alpha_{II,0}=\frac{\alpha_{c}}{\frac{I_{II}}{I_{c}}} \end{equation}\]
  • \(I_{I};I_{II}\) determinados com \(&rho;\)=0

  • \(\alpha_{c}\) (flecha eslástica) é obtido de tabela

  • \(\xi\) é o coeficiente de distribuição (que tem em conta a distribuição

do betão traccionado entre fendas), obtido por: \[ \xi=1-\beta\times(\frac{\sigma_{sr}}{\sigma_{s}})^{2} \]

  • \(\xi=0\) para secções não fendilhadas
  • Necessário definir o Coeficiente de Distribuição -> \(\xi_{medio}\)
  • \(\beta\) é o coeficiente que tem em conta a influência na extensão

média da duração do carregamento ou da repetição do carregamento: \[ \beta=\begin{cases} 1 & long.duracao\\ 0.5 & curta.duracao \end{cases} \]

  • \(\sigma_{sr}\) é a Tensão no Aço antes de Fendilhar
  • \(\sigma_{s}\) é a tensão no aço após fendilhação

Cálculo da Flecha a Longo Prazo (\(t=\infty\)); (\(\varphi_{t=\infty}=2,4\))

Referir a 6.2.1 para descrição completa das variáveis da equação

\[\begin{equation} \alpha_{\infty}=\xi\times\alpha_{II,\infty}+(1-\xi)\times\alpha_{I,\infty} \end{equation}\] \[\begin{equation} \alpha_{I,\infty}=\frac{\alpha_{c}\times(1+\varphi)}{\frac{I_{I}}{I_{c}}} \end{equation}\] \[\begin{equation} \alpha_{II,\infty}=\frac{\alpha_{c}\times(1+\varphi)}{\frac{I_{II}}{I_{c}}} \end{equation}\]

aonde;

  • \(I_{I}\) e \(I_{II}\) são determinados com \(\varphi=2,4\)
  • \(\beta=0,5\) (acções de longo prazo)

Fluência e Retração

Fluência

`` A fluência pode ser definida como sendo o aumento da deformação no > tempo, sob a acção de um estado de tensão constante (resultado, > essencialmente, da variação de volume da pasta de cimento que envolve > os agregados’

Deformação por fluência para \(t=0\)

\[\begin{equation} \varepsilon_{c,t=0}=\frac{\sigma_{c,t=0}}{E_{c,t=0}} \end{equation}\]

em que

  • \(\varepsilon_{c,t=0}\) é a extensão inicial

#### Deformação por fluência para \(t=\infty\)

\[\begin{equation} \varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})}=\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\times\varepsilon_{c(t_{0})} \end{equation}\]

em que,

  • \(\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\) representa o coeficiente de fluência
  • \(\varepsilon_{cc}\) é o incremento de extensão
  • \([t_{\infty},t_{0}]\) é o intervalo de tempo
  • \(\varphi_{(t_{\infty},t_{0})}\cong2...4\) . No caso de avaliações detalhadas, pode usar-se para referência \(\varphi\cong2,5\)

Determinação da Deformação a Longo Prazo

\[\begin{equation} \varepsilon_{c(t_{\infty,}t_{0})}=\varepsilon_{c(t_{0})}+\varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})} \end{equation}\] \[\begin{equation} \varepsilon_{c(t_{\infty,}t_{0})}=\frac{\sigma_{c}}{E_{c}^{*}} \end{equation}\] \[\begin{equation} E_{c}^{*}=\frac{E_{c}}{1+\varphi} \end{equation}\]

Retracção

A retralção no betão pode ser tratada como o efeito de uma alteração na temperatura:

\[\begin{equation} \varepsilon_{cc(t_{\infty,}t_{0})}\cong-2,0\times10^{-4}....-4,0\times10^{-4} \end{equation}\]

\[ \varepsilon_{\triangle T}=\alpha\times\triangle T \]

Flexão Composta e Desviada

Flexão Desviada

A flexão desviada corresponde à atuação simultânea de um esforço axial > e de flexão segundo os dois eixos principais.

Esforço Normal Reduzido

\[ \nu=\frac{N_{Rd}}{b\times h\times f_{cd}} \]

Momentos Flectores Reduzidos

\[ \mu_{y}=\frac{M_{Rd,y}}{b\times h^{2}\times f_{cd}} \]

\[ \mu_{z}=\frac{M_{Rd,z}}{b^{2}\times h\times f_{cd}} \]

Percentagem Mecânica de Armadura \(\omega_{total}\)

\[ \omega_{tot}=\frac{A_{s,tot}}{b\times h}\times\frac{f_{syd}}{f_{cd}} \]

Tabelas

Depois de determinado os esforços actuantes, determinar através de recurso a tabelas, a quantidade de armadura necessária.

Verificação da condição de segurança

\[\begin{equation} \left(\frac{M_{sd,y}}{M_{Rd,y}}\right)^{\alpha}+\left(\frac{M_{sd,z}}{M_{Rd,z}}\right)^{\alpha}\leq1,0 \end{equation}\]

Pilares

Cálculo de Esbelteza

Raio de Giração da Secção de Betão não fendilhada

Sendo \(i_{x}\) e \(i_{y}\) o raio de giração em \(x\) e em \(y\) respetivamente:

\[\begin{equation} i_{x}=\sqrt{\frac{I_{x}}{A}} \end{equation}\] \[\begin{equation} i_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{A}} \end{equation}\]

Esbelteza de um Pilar

EC2, 5.8.3.2, pág 77

\[\begin{equation} i_{x}=\frac{l_{x,0}}{i_{y}} \end{equation}\] \[\begin{equation} \lambda_{y}=\frac{l_{y,0}}{i_{x}} \end{equation}\]

em que \(l_{o}\) representa o comprimento efetivo da encurvatura (distância entre dois pontos de momento nulo ou pontos de inflexão da configuração da deformada)

Comprimento efetivo de elementos comprimidos de pórticos regulares

EC2 5.8.3.2.(3), pag78

Para elementos comprimidos de pórticos regulares, o critério de esbelteza deverá ser verificado com um comprimento efetivo \(l_{0}\) determinado das seguintes formas:

  1. Elementos Contraventados

    EC2 5.8.3.2.(3), pág 78

    \[\begin{equation} l_{0}=0.5l\times\sqrt{(1+\frac{K_{1}}{0.45+K_{1}})\times(1+\frac{K_{2}}{0.45+K_{2}})} \end{equation}\]

  2. Elementos Não Contraventados

    EC2 5.8.3.2.(3), pág 78

    \[\begin{equation} l_{0}=l\times m\acute{a}x\left\{ \sqrt{1+10\times\frac{K_{1}\times K_{2}}{K_{1}+K_{2}}};(1+\frac{K_{1}}{1+K_{1}})\times(1+\frac{K_{2}}{1+K_{2}})\right\} \end{equation}\]

Flexibilidade Relativa dos Encastramentos parciais das extremidades:

\[\begin{equation} K=\frac{(\theta/M)}{(EI/l)} \end{equation}\]

sendo \(\theta\) a rotação dos elementos que se opõem à rotação para o momento flector M; e \(l\) a altura livre do elemento comprimido entre ligações de extremidade.

\(K_{1}\) e \(K_{2}\) são parâmetros relativos às extremidades do pilar que traduzem a rigidez relativa à rotação do nós

\[\begin{equation} K_{i}=\frac{\sum(EI/L)_{pilares}}{\sum(\alpha\times EI/L)_{vigas}} \end{equation}\]

em que \(\alpha\) toma o valor de 3 ou 4.

Critério de Esbelteza para elementos (pilares) isolados

EC2, 5.8.3.1 pág 76

Os efeitos de segunda ordem podem ser ignorados se a esbelteza definida nas equações (3) e (4) forem inferiores a \(\lambda_{lim}\)

\[\begin{equation} \lambda_{lim}=20\times A\times B\times C/\sqrt{n} \end{equation}\]

em que,

\[\begin{equation} A=1/(1+0.2\times\varphi_{et}) \end{equation}\]

se \(&varphi;<sub>et</sub>\)não for conhecido, pode utilizar-se

\[\begin{equation} B=\sqrt{1+2\times\omega} \end{equation}\]

se \(\omega\) não for conhecido pode utilizar-se ****B=1,1****

\[\begin{equation} C=1,7-r_{m} \end{equation}\]

se \(r_{m}\) não for conhecido pode utilizar-se ****C=0,7****

  1. Coeficiente de Fluência Efetivo

    EC2, 5.8.4, pág 79

    \[\begin{equation} \varphi_{ef}=\varphi_{(\infty,t_{0})}\times M_{0Eqp}/M_{0Ed} \end{equation}\]

    em que:

    \[\begin{equation} \varphi_{(\infty,t_{0})}=\frac{\varepsilon_{cc}(\infty,t_{0})}{(\sigma_{c}/E_{c})} \end{equation}\]

    Se \(\varphi_{(\infty,t_{0})}\) não for conhecido pode utilizar-se \(\mathbf{\mathbf{\varphi}_{(\infty,t_{0})}=2,5}\)

    Nota: \(q_{qp}=C_{p}+\psi_{2}\times S_{c}\)

  2. Taxa mecânica de Armadura \(\omega\)

    \[\begin{equation} \omega=\frac{A_{s}\times f_{yd}}{A_{c}\times f_{cd}} \end{equation}\]

  3. Esforço Normal Reduzido

    \[\begin{equation} n=\frac{N_{ed}}{A_{c}\times f_{cd}} \end{equation}\]

  4. Razão de Momentos

    \[\begin{equation} r_{m}=\frac{M_{01}}{M_{02}} \end{equation}\]

  5. Momentos de Primeira Ordem nas Extremidades

    \[\begin{equation} |M_{02}|\geq|M_{01}| \end{equation}\]

Momento Flector de Cálculo \(M_{Ed}\)

Método baseado na curvatura nominal.

EC2, 5.8.8.2, pág 83

\[\begin{equation} M_{Ed}=M_{0Ed}+M_{2} \end{equation}\]

Momento tendo em conta os efeitos de 1º Ordem e as Imperfeições geométricas

\[\begin{equation} M_{02,Ed}=M_{02}+N_{Ed}\times e_{i} \end{equation}\]

Imperfeições geométricas

EC2 5.2.(5) pág 65

As imperfeições são representadas por uma inclinação \(\theta_{i}\) obtida por:

\[\begin{equation} \sigma_{i}=\sigma_{0}\times\alpha_{h}\times\alpha_{m} \end{equation}\]

\(\sigma_{0}\) é o valor básico, normalmente \(\frac{1}{200}\)

  1. Coeficiente de redução relativo ao comprimento ou altura \(\alpha_{h}\)

    \[\begin{equation} \alpha_{h}=\frac{2}{\sqrt{l}};\frac{2}{3}\leq\alpha_{h}\leq1 \end{equation}\]

  2. Coeficiente de Redução relativo ao número de elementos \(\alpha_{m}\)

    \[\begin{equation} \alpha_{m}=\sqrt{0.5\times(1+\frac{1}{m})} \end{equation}\]

    Ver EC2 5.2.6, pág 65, para os diferentes valores que \(m\) pode assumir

Excentricidade de 1ª Ordem \(e_{i}\)

EC 6.1.(4) pág 94

\[\begin{equation} e_{i}=\sigma_{i}\times\frac{l_{0}}{2} \end{equation}\] \[\begin{equation} e_{1}=\frac{M_{02,Ed}}{N_{Ed}}\geq max\begin{cases} \frac{h}{30}\\ 0.02 \end{cases} \end{equation}\]

sendo h a altura da secção

Excentricidade de 2ª Ordem, \(e_{2}\)

EC2 5.8.8.1.(3) pág 84

\[\begin{equation} e_{2}=\frac{1}{R}\times\frac{l_{0}}{c} \end{equation}\]

em que \(\frac{1}{R}\) é a curvatura (EC2 5.8.8.3, pág 84)

e \(c\) é o coeficiente dependente da distribuição da curvatura. No caso de uma secção transversal constante, utiliza-se normalmente \(c=10(\simeq\pi^{2})\). Se o momento de primeira ordem for constante, deverá-se considerar 8.

  1. Curvatura \(\frac{1}{R}\)

    \[\begin{equation} \frac{1}{R}=K_{r}\times K_{\varphi}\times\frac{1}{R_{0}} \end{equation}\]

    em que:

    \[\begin{equation} \frac{1}{R_{0}}=\frac{\varepsilon_{yd}}{(0,45\times d)} \end{equation}\]

    \[ \varepsilon_{yd}=\frac{f_{yd}}{E_{s}} \]

    \(K_{r}\) factor de correção dependente do esforço normal:

    \[\begin{equation} K_{r}=\frac{(n_{u}-n)}{(n_{u}-n_{bal})}\leq1 \end{equation}\]

    \(n\) é o esforço normal reduzido

    \(n_{bal}\) é o valor de \(n\) correspondente ao momento resistente máximo.

    \[\begin{equation} n_{u}=1+\omega \end{equation}\]

  2. Efeito da fluência \(K_{\varphi}\)

    C2, 5.8.8.3.(4) pág 85

    \[\begin{equation} K_{\varphi}=1+\beta\times\varphi_{ef}\geq1 \end{equation}\]

    em que:

    \[\begin{equation} \beta=0.35+\frac{f_{ck}}{200}-\frac{\lambda}{150} \end{equation}\]

    \[ \varphi_{ef}=\varphi_{(\infty,t_{0})}\times M_{0Eqp}/M_{0Ed} \]

    \[ \lambda_{lim}=20\times A\times B\times C/\sqrt{n} \]

Bibliografia

Comité Europeu de Normalização. 2004. Eurocódigo 2 - Projeto de Estruturas de Betão. Caparica, Portugal: Instituto Português de Qualidade.